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  신현용 2005-03-05 11:45:35, Hit : 6905
Subject   수학과 현실
직선은 수학에만 있다. 수학에서는 세 내각의 합이 180 도가 아닌 삼각형이 없다. 그러나 실제로 세 내각의 합이 180 도인 삼각형을 단 하나도 없다. 순도 100% 의 금이 가능하나? 기하교육용 프로그램은 이 점에서 수학교육적이지 못하다. 어찌할 수 없는 수학과 컴퓨터의 갈등이다.

수학자는 현실적이지 못한, 아니 현실적으로는 가능하지 않고 존재하지 않는 세계에 살고 있다. 자기들의 공간을 만들어 놓고…. 현실에서는 콩을 다섯 조각내고 다시 붙여 원래의 콩과 같은 크기의 콩 두 개를 만들지 못한다. 그러나 Banach와 Tarski 두 수학자에게 선택공리(axiom of choice)라는 칼과 콩 하나를 오늘 주라. 내일이면 태양만한 콩을 가져올 것이다. 문제는 Banach와 Tarski 두 수학자도 있고 콩도 있으되 선택공리(axiom of choice)라는 칼은 수학에만 있다.

정사각형의 두 대각선을 따라 사등분 한 후 마주보는 두 쪽을 제거하면 나머지 두 쪽은 분리되는 것인가, 아니면 연결되어(connected) 있는가? 실제 가위를 가지고 잘라 떼어 내면 분리된다. 이를 설명하기 위한 다음 주장은 수학적인 말 일 수는 있어도 현실적인 의미는 없다: ‘경계선 위에 있는 모든 점이 잘려 나갔다.’ 집합론적으로 말하면 잘려 나간 반쪽과 남은 반쪽은 대등한 집합이 아니다. 결국 길이, 넓이, 그리고 부피 등은 집합론적 성질이 아니다. 즉, 일대일대응에 의하여 보존되는 성질이 아니다. 위에서 언급한 Banach와 Tarski 의 역설도 이런 수학과 현실의 차이에서 초래된 것이다.  

10명의 학생들을 대상으로 다음과 같은 실험을 하여라. 즉, 사전에 아무런 언질을 주지 말고 조그마한 백지 한 장을 나누어 주고 ‘아무 수나 하나를 쓰라’고 한다. 아무런 생각 없이 곧 바로 쓰도록 한다. 그렇게 얻은 10 개의 수 중에서 유리수는 몇 개이며 무리수는 몇 개인가? 임의로(randomly) 수를 10 개 뽑았더니 유리수가 10 개, 무리수는 0 개일 것이다. 즉, 현실에서는 수 하나를 임의로 뽑았을 때 유리수일 확률은 1 이다. 그러나 수학에서는 어떤가? 수 하나를 임의로 뽑았을 때 유리수일 확률은 0 이다. 수학과 현실이 잘 맞지 않는 예가 아니고 완전히 상충하는 예다.

수학은 현실을 이해하기 위한 근사한 이론일 뿐이다. 현실의 극히 미미한 부분을 근사적으로 설명할 수 있을 뿐이다. 수학이 이러한데 물리학은 어떠하며 과학은 어떠할까? 사회과학은 또 어떻고?

이론이나 학문에 냉정할 필요가 있다.    


김윤권 (2005-03-07 20:26:37)  
아이들에게 한 번 써 보겠습니다.
박성일 (2005-03-09 10:38:22)  
나의 작은 지식을 내려놓고 하나님앞에서 겸손히 수학을 생각하게 됩니다.


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